Unidade 02: A vida em movimento

Página de exercícios da unidade 02



esta página vamos trabalhar os exercícios sobre os temas tratados nesta unidade: o movimento retilíneo e os gráficos.

Os movimentos retilíneos, isto é, aqueles movimentos com velocidade constante ou aqueles com aceleração constante são, em termos históricos, os mais importantes tipos de movimentos estudados pela Física.

Foram as teorias de grandes estudiosos, como Galileu, Copérnico, Kepler e Newton, sobre o movimento dos corpos que estabeleceram a antiga Filosofia Natural como a Física dos nossos dias.

Nesta página vamos aproveitar os resultados do trabalho desses físicos para resolver alguns exercícios sobre esse assunto.

No entanto, antes de tentar resolver os exercícios lembre-se:

  1. Especifique sempre o referencial no qual trabalha. Determine a origem e oriente o seu sistema, isto é, escolha o sentido positivo dos eixos do referencial.
  2. Lembre-se que a velocidade é sempre relativa ao referencial.
  3. Simplifique sua vida: a não ser em situações muito especiais trabalhe sempre no SI (Sistema Internacional de Unidades).
  4. O sinal negativo que aparece no resultado é a maneira da matemática lhe dizer: esta grandeza física está variando no sentido oposto ao sentido positivo do referencial.


Exercício 01

Calcule a grandeza física solicitada para as duas situações a seguir.

a) - Um automóvel passou pelo marco 30 km de uma estrada às 12 horas e pelo marco 150 km da mesma estrada às 14 horas. Qual a velocidade média desse automóvel entre as passagens pelos dois marcos?

b) - Um motorista de uma transportadora recebeu seu caminhão e sua respectiva carga no km 340 de uma rodovia às 10 horas, entregou a carga no km 140 da mesma rodovia às 13 horas. Qual foi a velocidade média desenvolvida pelo caminhão?


Repare que nas duas situações foram fornecidas as posições iniciais e finais. Do mesmo modo, os instantes iniciais e finais do movimento.

Note que os marcos crescem no sentido positivo da trajetória.


No primeiro caso, temos a variação da posição:

ΔS = Sfinal - Sinicial  →   →    ΔS = 150 - 30  →   →    ΔS = 120 km

A variação, ou o intervalo de tempo:

Δt = tfinal - tinicial  →   →    Δt = 14 - 12  →   →    Δt = 2 h

Logo, a velocidade média:

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 120  /  2  →   →    Vm = 60 km/h

Logo, a velocidade do automóvel entre os dois marcos da estrada é de 60 km/h.

Para o segundo caso, temos a variação da posição:

ΔS = Sfinal - Sinicial  →   →    ΔS = 140 - 340  →   →    ΔS = - 200 km

A variação, ou o intervalo de tempo:

Δt = tfinal - tinicial  →   →    Δt = 13 - 10  →   →    Δt = 3 h

Logo, a velocidade média:

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = - 200  /  3  →   →    Vm = - 66 m/s

Logo, a velocidade do caminhão é de - 66 km/h.

Note que o sinal da velocidade é negativo. Isto indica que o caminhão trafega no sentido negativo da trajetória. Repare ainda que arredondamos o resultado para ajustar ao número adequado de algarismos significativos.



Exercício 02

Calcule a grandeza física solicitada para as três situações a seguir.

a) - O brasileiro Joaquim Cruz ganhou a medalha de ouro nas Olimpíadas de Los Angeles. Ele correu 800 m em 100 s. Qual foi sua velocidade média?

b) - Uma motocicleta percorre uma distância de 26 m com velocidade média de 10 m/s. Qual o tempo gasto para percorrer essa distância?

c) - Uma nave é lançada para a Lua com velocidade constante de 17500 km/h, gastando 22 horas na viagem. Calcule, com esses dados, a distância da Terra à Lua.


Repare que nas três situações não foram fornecidas as posições iniciais e finais. Os deslocamentos e os intervalos de tempo são fornecidos já calculados.


Isto facilitará o nosso trabalho.

No primeiro caso, temos o deslocamento (ΔS = 800 m) e o intervalo de tempo (Δt = 100 s).

Logo, a velocidade média:

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 800  /  100  →   →    Vm = 8 m/s

Logo, a velocidade média de Joaquim Cruz foi de 8 m/s.

Para o segundo caso, temos o deslocamento (ΔS = 26 m) e a velocidade média de Vm = 10 m/s.

Logo, o intervalo de tempo do movimento será:

Vm = ΔS / Δt  →   →    10 = 26  /  Δt  →   →    Δt . 10 = 26  →   →    Δt = 26  /  10  →   →    Δt = 2,6 s

O tempo gasto para a motocicleta percorrer essa distância será de 2,6 segundos.

Para o terceiro caso, temos a duração da viagem (Δt = 22 h) e a velocidade média de Vm = 17.500 km/h.

Logo, o deslocamento da nave será:

Vm = ΔS / Δt  →   →    17500 = ΔS  /  22  →   →    ΔS = 17500 . 22  →   →    Δ = 385.000 km

Logo, a distância entre a Terra e a Lua é de 385.000 km.



Exercício 03

Na imagem ao lado são mostradas duas esferas em movimento numa superfície horizontal. Os movimentos são retilíneos, isto é, a trajetória de cada uma delas é uma reta.

Cada esfera é mostrada em dois instantes no tempo. Para cada instante são fornecidas a velocidade V e a marcação do relógio t.

Calcule a aceleração média de cada esfera nesses intervalos de tempo.


Repare que os dois referenciais têm o sentido positivo marcado para a direita. A seta sobre cada uma delas indica o sentido do movimento.

Para a primeira esfera...


Para a primeira esfera temos.

A variação da velocidade:

ΔV = Vfinal - Vinicial  →   →    ΔV = 20 - 8  →   →    ΔV = 12 m/s

A variação, ou o intervalo de tempo:

Δt = tfinal - tinicial  →   →    Δt = 4 - 2  →   →    Δt = 2 s

Logo, a aceleração média:

am = ΔV / Δt  →   →    am = 12  /  2  →   →    am = 6 m/s2

Repare que a variação da velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal. Logo, a esfera está "acelerada", isto é, o módulo de sua velocidade aumenta com o tempo.

Para a segunda esfera temos.

A variação da velocidade:

ΔV = Vfinal - Vinicial  →   →    ΔV = - 20 - (- 8)  →   →    ΔV = - 12 m/s

A variação, ou o intervalo de tempo:

Δt = tfinal - tinicial  →   →    Δt = 7 - 4  →   →    Δt = 3 s

Logo, a aceleração média:

am = ΔV / Δt  →   →    am = - 12  /  3  →   →    am = - 4 m/s2

Repare que a variação da velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal. Logo, a esfera está "acelerada", isto é, o módulo de sua velocidade aumenta com o tempo.



Exercício 04

A imagem ao lado mostra o traçado do circuito da Hungria de fórmula 1. O círculo verde marca o ponto de largada. Na volta de apresentação os carros percorreram o circuito de 4,4 km com velocidade constante em 3 minutos.

  1. Qual a velocidade média dos carros na volta de apresentação?
  2. Qual a velocidade dos carros durante a volta de apresentação?

Cuidado! Estas perguntas colocam em evidência as limitações de nossas grandezas física. Definimos velocidade média como a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo.


1 - Assim, ao completar a volta de apresentação os carros de corrida voltam a ocupar as mesmas posições de largada. Logo, o deslocamento é nulo e, por consequência, a velocidade média também é nula.

ΔS = S - S0  →   →    ΔS = 0 m .

Não estranhe, pois a velocidade média registra apenas a média. Afinal, considerando o intervalo de tempo entre o inicio e o fim da volta de apresentação, os carros não saíram do lugar.

2 - No entanto, não é isto o que se pensa ao fazer esse tipo de pergunta. Vamos então considerar S0 = 0 e a posição final um pouco antes da posição de chegada S = 4,4 km.

ΔS = S - S0  →   →   ΔS = 4,4 - 0  →   →    ΔS = 4,4 km .

Como a velocidade é constante então a velocidade média é igual a velocidade instantânea. Usando a definição de velocidade média e sabendo que 3 minutos corresponde a 0,05 horas, temos:

Com isto chegamos a uma velocidade média de 88 km/h na volta de apresentação.



Exercício 05

Um automóvel numa estrada reta acelera a partir do repouso com uma aceleração constante de 2,0 m/s². Calcule a distância que ele percorre em 10 segundos.


Devemos usar a equação horária do movimento retilíneo uniformemente variado.

Nosso referencial está na horizontal com sentido positivo para a direita.


Usando a equação horária ficamos com:

O automóvel partiu da posição zero. Logo se So = 0 então o deslocamento é dada por "S".



Exercício 06

Imagine-se numa bela tarde de sol ao volante de um carro esporte passeando por uma estrada reta com a velocidade constante de 50 km/h medida em relação a estrada. Para que a pressa, não é mesmo!

Responda:

  1. Do ponto de vista de uma árvore a beira da estrada qual a sua velocidade?
  2. Do seu ponto de vista as árvores a beira da estrada estão em repouso ou se movimentam. Se for assim qual a sua velocidade?
  3. Um carro se aproxima com velocidade constante de 30 km/h medida em relação a estrada pela pista contrária. Do seu ponto de vista qual a velocidade desse carro?
  4. Um carro se aproxima, pela mesma pista, com velocidade constante de 80 km/h medida em relação a estrada. Do seu ponto de vista qual a velocidade desse carro?

O movimento de um objeto é sempre pensado em relação a outro corpo material, isto é, a outro referencial. Logo, a velocidade de um objeto deve ser vista em relação ao referencial em que é medida.


As velocidades estão todas na direção horizontal.

Reveja no link da coluna ao lado o caso especial da soma de vetores na mesma direção.

1 - O referencial das árvores é o mesmo da estrada. Logo a velocidade é de 50 km/h para frente.

2 - Do seu ponto de vista as árvores se movimentam com velocidade de 50 km/h para a trás.

3 - Você vê a soma de dois movimentos. O movimento das árvores para trás e do carro também para trás. Logo a velocidade é de 80 km/h para trás.

4 - Você vê a soma de dois movimentos. O movimento das árvores para trás e o movimento do carro para frente. Logo a velocidade é de 30 km/h para frente.



Exercício 07

Na imagem ao lado é mostrado o gráfico posição versus tempo de um objeto em movimento retilíneo uniforme.

Determine:

  1. A posição inicial e a velocidade do objeto.
  2. A sua equação horária.
  3. A posição que o objeto ocupa quando o relógio que controla o movimento marca 10 segundos.

Para determinar a posição inicial, ou seja, a posição em que o objeto estava quando iniciou o movimento basta olhar o gráfico.

1 - Assim, a posição inicial é S0 = - 20 m.


Para determinar a velocidade pelo gráfico escolhemos os pontos de coordenadas (0, -20) e (8, 25). Fazendo os cálculos:

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 25 - (- 20)  /  8 - 0  →   →    Vm = 45  /  8  →   →    Vm = 5,6 m/s

2 - Aproveitando os dados anteriores temos a equação S = S0 + v . t  →   →   S = - 20 + 5,6 . t

3 - Aproveitando a equação horária, temos:

S = - 20 + 5,6 . t →   →   S = - 20 + 5,6 . 10. Calculando  →   →   S = - 20 + 56  →   →   S = 36 m

A posição quando o relógio marca 10 s é a de 36 m.



Exercício 08

(CEDERJ - RJ - adaptado) - Na imagem ao lado é mostrada uma pequena esfera em queda livre. A fotografia mostra as posições ocupadas pela esfera a intervalos consecutivos de 0,1 segundos. Ao lado está marcada a distância que ela percorreu a cada intervalo.


Este movimento é de queda livre, do tipo que estudamos anteriormente.

a - Para responder devemos aplicar a definição de velocidade média. Para isto vamos usar as informações da imagem.


O intervalo de tempo é de 0,1s e as distâncias são informadas na imagem. Então:

Para o primeiro intervalo.

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 5,0  /  0,1  →   →    Vm = 50 cm/s

Para o segundo intervalo.

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 15  /  0,1  →   →    Vm = 150 cm/s

Para o terceiro intervalo.

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 25  /  0,1  →   →    Vm = 250 cm/s

Para o quarto intervalo.

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 35  /  0,1  →   →    Vm = 350 cm/s

b - A variação da velocidade média pode ser calculada usando nossa definição de variação de uma grandeza física.

Do primeiro para o segundo intervalo a velocidade variou:

ΔV = Vfinal - Vinicial  →   →    ΔV = 150 - 50  →   →    ΔV = 100 cm/s

Do segundo para o terceiro intervalo a velocidade variou:

ΔV = Vfinal - Vinicial  →   →    ΔV = 250 - 150  →   →    ΔV = 100 cm/s

Do terceiro para o quarto intervalo a velocidade variou:

ΔV = Vfinal - Vinicial  →   →    ΔV = 350 - 250  →   →    ΔV = 100 cm/s

c - Repare que pelos calculos do item anterior a variação da velocidade é constante em intervalos de tempos iguais. Isto indica que, até o nível destas medidas, a aceleração também é constante.

Note que 100 cm/s é o mesmo que 1,0 m/s. Logo, calculando a aceleração temos:

am = ΔV / Δt  →   →    am = 1,0  /  0,1  →   →    am = 10 m/s2

Neste tipo de movimento a aceleração média é igual a aceleração instantânea. Logo a = 10 m/s2. Como sabemos este é o valor que adotamos para a aceleração da gravidade próximo à superfície do nosso planeta.



Exercício 09

(UNIP - Adaptado) Na imagem ao lado representamos o gráfico posição versus tempo, para um objeto que se desloca ao longo de uma trajetória retilínea.

Os trechos AB e CD são arcos de parábola com eixos de simetria paralelos ao eixo das posições. Descreva as informações que você pode obter do gráfico no intervalo de tempo em que o móvel está próximo à origem das posições.


Este movimento é de queda livre, do tipo que estudamos anteriormente.

a - Para responder devemos aplicar a definição de velocidade média. Para isto vamos usar as informações da imagem.


O intervalo de tempo é de 0,1s e as distâncias são informadas na imagem. Então:

Para o primeiro intervalo.

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 5,0  /  0,1  →   →    Vm = 50 cm/s

Para o segundo intervalo.

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 15  /  0,1  →   →    Vm = 150 cm/s

Para o terceiro intervalo.

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 25  /  0,1  →   →    Vm = 250 cm/s

Para o quarto intervalo.

Vm = ΔS / Δt  →   →    Vm = 35  /  0,1  →   →    Vm = 350 cm/s

b - A variação da velocidade média pode ser calculada usando nossa definição de variação de uma grandeza física.

Do primeiro para o segundo intervalo a velocidade variou:

ΔV = Vfinal - Vinicial  →   →    ΔV = 150 - 50  →   →    ΔV = 100 cm/s

Do segundo para o terceiro intervalo a velocidade variou:

ΔV = Vfinal - Vinicial  →   →    ΔV = 250 - 150  →   →    ΔV = 100 cm/s

Do terceiro para o quarto intervalo a velocidade variou:

ΔV = Vfinal - Vinicial  →   →    ΔV = 350 - 250  →   →    ΔV = 100 cm/s

c - Repare que pelos calculos do item anterior a variação da velocidade é constante em intervalos de tempos iguais. Isto indica que, até o nível destas medidas, a aceleração também é constante.

Note que 100 cm/s é o mesmo que 1,0 m/s. Logo, calculando a aceleração temos:

am = ΔV / Δt  →   →    am = 1,0  /  0,1  →   →    am = 10 m/s2

Neste tipo de movimento a aceleração média é igual a aceleração instantânea. Logo a = 10 m/s2. Como sabemos este é o valor que adotamos para a aceleração da gravidade próximo à superfície do nosso planeta.



Exercício 10

O gráfico velocidade versus tempo mostrado abaixo descreve o comportamento da velocidade de um objeto em movimento.

Observe o gráfico com atenção e responda:


Devemos empregar nossas técnicas para a leitura dos gráficos.

a) - Para responder basta observar o gráfico. Vamos escrever as contas para a resposta ficar mais clara.


Para intervalo AB (ponto inicial A e ponto final B).

am = ΔV / Δt  →   →    am = 4 - 0 / 3 - 0  →   →    am = 4  /  3  →   →    am = 1,3 m/s2

Para intervalo BC (ponto inicial B e ponto final C).

am = ΔV / Δt  →   →    am = 4 - 4 / 6 - 3  →   →    am = 0  /  3  →   →    am = 0 m/s2 (nula)

Para intervalo CD (ponto inicial C e ponto final D).

am = ΔV / Δt  →   →    am = (- 4) - 4 / 14 - 6  →   →    am = - 8  /  8  →   →    am = - 1 m/s2

b) - No intervalo AB a velocidade está variando; no intervalo BC a velocidade se mantêm constante (pois a aceleração é nula) e no intervalo CD a velocidade volta a variar de valor.

c) - Calcular a área sob a curva do gráfico significa, na Física, calcular o deslocamento:

No intervalo AB, calcule a área do triângulo marrom:

ΔS = (base . altura)  / 2  →   →    ΔS = (3 . 4)  / 2  →   →    ΔS = 6 m

No intervalo BC, calcule a área do retângulo branco:

ΔS = (base . altura)  →   →    ΔS = 3 . 3  →   →    ΔS = 9 m

No intervalo CD, calcule as áreas dos triângulos azul e amarelo:

ΔS = (base . altura)  / 2   +   (base . altura)  / 2 →   →    ΔS = (4 . 4)  / 2   +   (- 4 . 4)  / 2

 →   →    ΔS = 8   +   (- 8) →   →    ΔS = 0 m

Repare que nesse intervalo a aceleração é negativa. O objeto começou a diminuir a velocidade até parar, depois ele inverteu o sentido do movimento e voltou para a mesma posição do início do intervalo. Por isso, o deslocamento é mulo.

d) - Basta somar os deslocamentos em cada intervalo.

ΔStotal  =  ΔSAB  +   ΔSBC  +      ΔSCD      →   →    ΔStotal = 6   +  9   +  0   →  →  ΔStotal = 15 m



Com esta lista de exercícios de revisão terminamos o estudo da unidade 2 do fascículo 1.

Na próxima aula iniciaremos o estudo da unidade 3 que tratará da parte da Mecâmica chamada Dinâmica, isto é, o estudo das causas do movimento dos corpos materiais.

Seria de grande proveito se você resolvesse também os exercícios do fascículo impresso que se encontram na lista do final da unidade 2.



Material Complementar


   
   
   
  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
Dicas para resolver exercícios
         
   
      
   
   
   
    
      
   
   
Regra de sinais para as operações matemáticas