Unidade 03: eu tenho a força!

Seção 02: 2 + 2 é mesmo igual a 5? O conceito de vetor e de soma vetorial



ara somar duas medidas de uma grandeza física vetorial devemos proceder de maneira diferente daquela que empregamos quando somamos duas medidas de grandezas escalares.

Nesta aula, reabriremos o parênteses no estudo das forças, para tratar das regras dessa nova maneira de somar. Não se preocupe, pois elas não são complicadas e, além disto, trataremos somente dos casos mais simples da adição vetorial.

Em primeiro lugar vamos aprender a somar dois ou mais vetores usando sua representação gráfica, isto é, vamos somar as setas. Nesse caso, estamos interessados apenas em determinar a direção e o sentido do vetor resultante da soma. Não estamos interessados no módulo desse vetor.

Somente em três casos muito especiais iremos calcular os módulos da soma desses vetores.

Antes de continuarmos, leia este:

Lembrete importante:

Nos exemplos a seguir, estaremos sempre somando duas ou mais forças que agem sobre o mesmo corpo, ao mesmo tempo. Além disto, os objetos sobre os quais as forças agem são sempre corpos rígidos, isto é, são indeformáveis.



Adição de dois ou mais vetores usando a representação gráfica

Para as necessidades deste curso basta aprendermos a determinar a direção e o sentido do vetor resultante da soma de dois ou mais vetores. Para isto vamos usar o seguinte procedimento geral:

"Deslocamos a segunda seta de modo que o seu início fique junto com a ponta da primeira seta. Desenhe uma seta ligando o início da primeira e a ponta da segunda seta. A seta que representa o vetor soma é aquela que começa no início da primeira seta e termina no fim da segunda."

Somando os vetores a e b. Aplicando o método em 4 passos.

Adição de vetores: método do paralelogramo

Para a adição de vetores existe um método alternativo de fácil aplicação quando se trata da soma de apenas dois vetores: o método do paralelogramo.

"Deslocamos a segunda seta de modo que o seu início fique junto com o início da primeira seta. Desenhamos duas retas paralelas aos vetores passando pelas pontas de cada um deles. A seta que representa o vetor soma é aquela que começa num vértice do paralelogramo formado pela figura e termina no vértice oposto."

Observe a imagem abaixo e veja o método em ação.

Aplicando o método de adição

Na imagem a seguir temos a representação de um pêndulo fora da sua posição de equilíbrio. Sobre a massa m temos duas forças agindo: a tração T da corda e o peso P.

Para conhecer a direção e o sentido da força F que irá mover a massa m devemos somar os dois vetores.

Para isto aplicamos o método do Paralelogramo visto acima. O resultado da soma dos dois vetores é F cuja seta nos indica que a massa m vai se mover para a esquerda e para baixo, descrevendo em seguida a trajetória característica dos pêndulos.



Casos especiais da adição de vetores

Como foi dito anteriormente, no nosso curso, vamos trabalhar apenas com a representação gráfica dos vetores, pois nossas necessidades se limitam a determinar apenas a direção e o sentido das grandezas vetoriais. No entanto, em três casos muito especiais, seremos capazes de determinar também o módulo da soma de vetores: a soma de vetores de mesma direção e a soma de vetores perpendiculares entre si.

Adição de dois vetores com mesma direção, de mesmo sentido e de sentidos opostos

Mesmo sentido   →   →  Neste caso o vetor soma terá a mesma direção e sentido dos dois vetores somados e o módulo será a soma aritimética dos seus módulos.

Sentidos opostos   →   →  Neste caso o vetor soma terá a mesma direção dos dois vetores somados e o sentido daquele vetor de maior módulo entre eles. O módulo do vetor soma será o resultado da subtração dos módulos dos dois vetores somados.

Para mais detalhes destas operações siga o link do botão ao lado.

Adição de dois vetores perpendiculares entre si

Neste caso começamos usando o método geral do início da aula.

Você notará que no final teremos um triângulo retângulo cuja hipotenusa será a seta que representa o vetor soma. O módulo desse vetor será dado pelo resultado da aplicação do teorema de Pitágoras.

Para mais detalhes desta operação siga o link do botão ao lado.

Aplicando a soma de vetores para os casos especiais

Para o primeiro exemplo de como usar os métodos de adição vetorial que estudamos considere um objeto (quadrado laranja) mostrado na imagem a seguir. Nos casos (A), (B) e (C) eles são empurrados por duas forças nas direções e sentidos determinados pelas duas setas.

A seta menor tem módulo de 6 N e a maior, apontando para a direita, tem o módulo de 8 N. Calcule o vetor resultante da soma dessas forças nos três casos.

Observe as posições das setas que representam as forças. Temos aqui os três casos especiais que acabamos de estudar.

(A) - Terceiro caso especial: duas setas perpendiculares. Para calcular o módulo da resultante da soma das forças faça o desenho numa folha de papel e depois aplique o teorema de Pitágoras.

Logo, o vetor soma (R) tem módulo de 10 N, a direção do canto superior direito da imagem e o sentido para cima.

R2 = (F1)2 + (F2)2   →   →   R2 = (8)2 + (6)2   →   →   R = 10 N.

(B) - Segundo caso especial: duas setas de mesma direção e sentidos opostos. Para calcular o módulo da resultante da soma das forças faça o desenho numa folha de papel e depois some.

R = F1 - F2   →   →   R = 8 - 6   →   →   R = 2 N.

Logo, o vetor soma (R) tem módulo de 2 N a direção horizontal e o sentido para a direita da página.

(C) - Primeiro caso especial: duas setas de mesma direção e mesmo sentido. Para calcular o módulo da resultante da soma das forças faça o desenho numa folha de papel e depois some.

R = F1 + F2   →   →   R = 8 + 6   →   →   R = 10 N.

Logo, o vetor soma (R) tem módulo de 10 N a direção horizontal e o sentido para a direita da página.

Antes de continuarmos, leia este:

Lembrete importante:

Quando você estiver resolvendo os exercícios ou quando estiver fazendo a prova, se a questão solicitar apenas a direção e o sentido do vetor use os dois primeiros métodos.

Se, por outro modo, for solicitado também o módulo do vetor, use os casos especiais.

Os casos especiais valem também quando desejamos somar mais de dois vetores. Neste caso, basta somar o terceiro com o resultado da soma dos dois primeiros e assim sucessivamente.



Neste fascículo trabalhamos a Adição Vetorial. Usamos a Força como exemplo. No entanto, nunca é demais lembrar, o mesmo método se aplica quando estivermos tratando de velocidades, deslocamentos, acelerações, etc.

Neste ponto fechamos o parênteses aberto tratar das Grandezas Vetoriais e voltamos a estudar as Forças. Na próxima aula, e nas seguintes, vamos trabalhar com os tipos de Força mais comuns da Mecânica.

Começaremos pela Força Normal e a Força de Atrito.

Se desejar, estude o resumo da aula clicando no botão abaixo.



Resumo das principais ideias desta seção

  1. A soma de duas medidas de Grandezas Vetoriais obedecem a regras diferentes da adição de Grandezas Escalares;
  2. Vamos estudar o método gráfico de Adição Vetorial, isto é, vamos somar as setas para obter a direção e o sentido do vetor soma;
  3. Assim:
    "Deslocamos a segunda seta de modo que o seu início fique junto com a ponta da primeira seta. Desenhe uma seta ligando o início da primeira e a ponta da segunda seta. A seta que representa o vetor soma é aquela que começa no início da primeira seta e termina no fim da segunda."

    Somando os vetores a e b. Aplicando o método em 4 passos.


  4. Existe um segundo método muito útil quando queremos somar rapidamente dois vetores.
  5. Assim:
    "Deslocamos a segunda seta de modo que o seu início fique junto com o início da primeira seta. Desenhamos duas retas paralelas aos vetores passando pelas pontas de cada um deles. A seta que representa o vetor soma é aquela que começa num vértice do paralelogramo formado pela figura e termina no vértice oposto."

    Observe a imagem abaixo e veja o método em ação.


  6. Vamos calcular o módulo da adição de dois ou mais vetores somente em três casos especiais;
  7. Adição de vetores de mesma direção e mesmo sentido:
    Neste caso o vetor soma terá a mesma direção e sentido dos dois vetores somados e o módulo será a soma aritimética dos módulos deles.
  8. Adição de vetores de mesma direção e com sentidos opostos:
    Neste caso o vetor soma terá a mesma direção dos dois vetores somados e o sentido daquele vetor de maior módulo entre eles. O módulo do vetor soma será o resultado da subtração dos módulos dos dois vetores somados.
  9. Adição de vetores perpendiculares entre si:
    Neste caso usamos o método do paralelogramo e depois aplicamos o teorema de Pitágoras para calcular o módulo do vetor soma.


Material Complementar


   
   
   
  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
Dicas para resolver exercícios
         
   
      
   
   
   
    
      
   
   
Regra de sinais para as operações matemáticas