Unidade 02: A vida em movimento

Seção 05: o movimento de queda livre, exemplo de movimento uniformemente variado



alileu Galilei, em certo momento de sua carreira, iniciou o estudo do movimento dos corpos pesados na atmosfera. Este interesse pelo assunto não era puramente acadêmico. Nesta época os países europeus modernos estavam nascendo. Países necessitam de exércitos, e estes, por sua vez, necessitam de armas eficientes.

Armas de fogo são eficientes na guerra e elas funcionam lançando projéteis na atmosfera. Portanto, estudar o movimento dos corpos próximo à superfície tinha, digamos assim, um interesse prático.

Determinar como os projéteis se movimentavam pelo ar atmosférico depois de lançados por uma arma estava na "ordem do dia" entre os estudiosos europeus naqueles anos iniciais da era moderna. Entre esses estudiosos estava Galileu.

Ele, no entanto, iniciou seu projeto pelo estudo de um movimento mais simples: a queda livre dos corpos pesados pela atmosfera, próximo da superfície da Terra.

Em termos históricos, o movimento de um corpo em queda livre é o exemplo mais famoso do tipo de movimento chamado Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), estudado na aula anterior. A ele vamos dedicar esta aula.



O movimento em queda livre

O movimento de Queda Livre é o movimento vertical de queda de um corpo, sob a ação exclusiva da força gravitacional. O conhecimento físico da época afirmava que:

A velocidade de queda dos corpos é proporcional ao seu peso, isto é, corpos mais pesados caem com maior velocidade.

- Isto está certo não é, professor? Eu sei que um tijolo cai mais rápido que uma folha de papel.

- É o que parece a primeira vista. Galileu, no entanto, pensava diferente.

Logo de início Galileu desafiou o conhecimento do seu tempo. Ele se perguntou: a diferença de velocidade observada entre um tijolo e uma folha de papel em queda livre não poderia ser o resultado da ação das forças de resistência do ar sobre o corpo?

Se isto fosse verdade, ele percebeu, a velocidade de queda de um corpo não depende do seu peso (isto é, de sua massa). Assim, eliminada as forças de resistência do ar, ou seja, se a queda fosse realizada no vácuo com os corpos caindo de uma mesma altura:

corpos de massas diferentes caem com a mesma velocidade e em tempos iguais.

- No entanto, Galileu tinha um problema.

- Eu sabia!

- Naquela época, não se tinha certeza da existência do vácuo e, para piorar as coisas, não havia condições técnicas para tentar se obter um.

Assim, Galileu procurou meios de contornar o problema. Ele resolveu usar corpos pesados, como esferas de metal, na tentativa de diminuir os efeitos da resistência do ar.

- Neste ponto, vamos fazer um resumo para deixar bem claro qual tipo de movimento Galileu estudou.

No movimento de queda livre:

  1. - o movimento é sempre na vertical e a velocidade inicial é nula.
  2. - a única força que atua é a gravitação.

A tradição afirma que Galileu teria realizado experimentos sobre a queda livre dos corpos deixando cair esferas de metal do alto da torre da catedral de Pizza, Italia.

O plano inclinado

No entanto, tudo indica que isto não passa de uma lenda. Pelo que sabemos Galileu realizou seus experimentos em seu "laboratório". Mesmo dispondo de instalações adequadas persistia um problema: para alturas normais, o movimento de queda livre é muito rápido.

Assim, para aumentar o tempo de queda das esferas, Galileu passou a utilizar, nos seus experimentos, um plano inclinado como este que é mostrado na fotografia abaixo.

O plano inclinado divide a força gravitacional em duas. Uma parte pressiona a esfera contra o plano e a outra move a esfera para baixo. Isto aumenta o tempo da queda.

- Observe, meu amigo, que o plano inclinado usado por ele possui uma canaleta por onde Galileu deixava cair esferas de metal. Ao longo da canaleta ele colocou pequenos sinos que tocavam quando as esferas passavam por eles.

- Professor! Por que usar sinos?

- Naquela época não existiam relógios capazes de marcar pequenos intervalos de tempo. Assim, ele improvisou. Os sinos tocavam sempre que a esfera passava por eles.

Galileu ajustou as distâncias entre os sinos de tal maneira que o intervalo de tempo entre o som de cada um deles era sempre o mesmo. Com isto ele pode medir a distância percorrida pelas esferas em intervalos de tempos iguais.

Observando com cuidado o plano inclinado, você notará que as distâncias ente os sinos aumenta à medida que a esfera desce por ele.

Quando analisou a relação entre a distância que as esferas percorriam e o intervalo de tempo que levavam para percorrê-la ele percebeu que:

A distância que as esferas percorriam durante a queda era proporcional ao quadrado do tempo gasto para percorrê-la.

Escrevendo essa relação em termos matemáticos ficamos com:

ΔS = K . Δt   →   →   S - S0 = k . (t - t0)2

Fazendo as condições iniciais nulas ( t0 = 0 e S0 = 0) ficamos com a equação que é mostrada na imagem ao lado.

Onde S é a distância percorrida, t a medida do tempo gasto para percorrer essa distância e K uma constante.

Galileu, no entanto, foi além desse ponto. Ele continuou seu trabalho e descobriu que essa constante K tem a dimensão de uma aceleração e que, no movimento de queda livre, ela mede a metade da aceleração da gravidade.

Assim, obtemos a equação do movimento de um corpo em queda livre:

- Lembre-se que nesta expressão matemática estamos fazendo t0 = 0 e S0 = 0. Nestas condições, S representa a distância percorrida pelo corpo desde o início da queda, t o tempo gasto na queda até aquele instante.

Ainda na fórmula, g representa a aceleração gravitacional. Esta aceleração, em lugares próximos à superfície da Terra pode ser considerada constante. Para ela, neste curso, adotaremos sempre o valor aproximado de g = 10 m/s2.

Resumindo: o trabalho de Galileu forneceu resultados importantes:

  1. a velocidade de queda de um corpo não depende de sua massa. Corpos de massa diferentes, abandonados ao mesmo tempo e a mesma altura, caem com a mesma velocidade e atingem o solo ao mesmo tempo;
  2. durante a queda livre corpos com massas diferentes são acelerados igualmente por uma aceleração chamada de aceleração da gravidade (g);
  3. Dentro da atmosfera, a aceleração g é considerada constante (No nosso curso vamos adotar o valor aproximado de g = 10 m/s2).
  4. a distância percorrida durante a queda livre de um corpo varia com o quadrado do tempo gasto na queda.

Lembrete: o estudo de Galileu foi feito considerando corpos em queda livre próximos da superfície da Terra, isto é, dentro da atmosfera. Somente nessas condições g pode ser considerada constante.



Generalizando a equação de Galileu: o movimento com aceleração constante

Esta equação não vale somente para o movimento de queda livre. Ela pode ser generalizada para qualquer movimento com aceleração constante, ou seja, trocamos a aceleração gravitacional g por uma aceleração constante a.

Isto feito, ficamos com a conhecida equação do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV):

Usando a equação de Galileu generalizada

Considere uma esfera que partiu do repouso da origem do referencial (S0 = 0 m) com uma aceleração constante conforme é mostrado na imagem ao lado.

A esfera se move no sentido positivo do referencial. Quando a esfera iniciou o seu movimento disparamos o cronômetro (t0 = 0 s).

Calcule a posição da esfera quando o cronômetro marcar 20 segundos.

Para usar a equação de Galileu generalizada devemos ter as condições iniciais desse movimento. Pela imagem sabemos o valor da aceleração (a = 4,0 m/s2). A posição inicial S0 = 0 m, como visto acima.

Substituindo os valores temos a equação particular para o nosso movimento:

S = a . t2/2   →   →   S = 3,0 . t2/2

Queremos a posição quando o cronômetro marca 20 segundos. Logo, substituindo na equação:

S = 3,0 . t2/2   →   →   S = 3,0 . 202/2   →   →   S = 3,0 . 400/2

Completando os cálculos:

S = 3,0 . 200   →   →   S = 600 m

A esfera ocupará a posição 600 metros quando o cronômetro marcar 20 segundos.



Galileu continuou os seus estudos. Em seguida, descobriu que o movimento dos projéteis resulta da combinação do movimento retilíneo uniforme, na horizontal, com o movimento uniformemente variado, na vertical. Disto resulta que a trajetória dos projéteis tem a forma de uma parábola.

Nesta aula encerramos os conteúdos de Cinemática. Nosso próximo assunto ainda faz parte da Mecânica. Vamos tratar da Dinâmica, ou seja, vamos entender as causas do movimento.

Antes de mudar de assunto, temos a nossa página de exercícios desta unidade. Treine com eles para fixar os conteúdos que acabamos de estudar.

Se necessário consulte o resumo desta aula clicando no botão abaixo.




Resumo das principais ideias desta seção

  1. Queda livre é o tipo de movimento de um corpo que é abandonado a certa altura e que se move sob a ação exclusiva da força gravitacional;
  2. Galileu estudou esse tipo de movimento e concluiu que:
    a velocidade de queda de um corpo não depende de sua massa. Corpos de massa diferentes, abandonados ao mesmo tempo e a mesma altura, caem com a mesma velocidade e atingem o solo ao mesmo tempo;
  3. Além disto ele descobriu também:
    A distância que os corpos percorrem durante a queda livre é proporcional ao quadrado do tempo gasto para percorrê-la.
  4. Escrevendo isto em termos matemáticos:

    Lembre-se que nesta expressão matemática estamos fazendo t0 = 0 e S0 = 0.

    Nestas condições, S é a distância percorrida na queda, t é o tempo gasto na queda e g a aceleração da gravidade;

  5. Neste curso vamos adotar o valor aproximado de g = 10 m/s2 para a aceleração da gravidade próxima à superfície da Terra;
  6. Podemos generalizar a equação de Galileu para todo movimento de aceleração constante. Em termos matemáticos, trocando g por a, temos:

    Onde S é a distância percorrida na queda, t é o tempo gasto na queda e a a aceleração do corpo;

  7. Este tipo de movimento é chamado de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV).


Material Complementar


   
   
   
  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
Dicas para resolver exercícios
         
   
      
   
   
   
    
      
   
   
Regra de sinais para as operações matemáticas