Unidade 02: A vida em movimento

Seção 03: saindo pela tangente. Informação sobre a velocidade e o deslocamento do corpo em movimento



a aula passada aprendemos o que é um Gráfico e que ele serve para expor informações sobre um determinado fenômeno. Existem muitos tipos de gráficos, no entanto, vamos trabalhar com o mais simples e mais antigo deles: os gráficos cartesianos.

Atualmente, num mundo repleto de telas de computadores, as imagens tornaram-se o meio ideal de expor informação. Por isto, os gráficos são largamente usados em todas as ciências tanto para expor quanto para analisar informações.

Aprendemos também, na aula passada, a responder alguns tipos de perguntas sobre um fenômeno apenas pela leitura do seu gráfico. Esse método é chamado leitura direta. Nele as informações são obtidas observando as legendas e as escalas dos eixos do gráfico.

Vamos agora estudar mais dois métodos de retirar informações de um gráfico.



A Taxa de Variação entre duas grandezas

Outras informações podem ser obtidas dos gráficos quando usamos o método chamado de "Leitura Indireta". Um dos tipos de leitura indireta é aquele em que se calcula a Taxa de Variação entre as duas grandezas físicas representadas no gráfico.

A Taxa de Variação de uma grandeza física em relação a outra grandeza física nada mais é que a razão entre os valores dessas grandezas num determinado trecho da curva do gráfico. No sistema cartesiano:

a taxa de variação de um dado intervalo do gráfico fornece informação sobre o quanto a grandeza física representada no eixo vertical varia em relação à grandeza física representada no eixo horizontal.

No gráfico do movimento retilíneo uniforme o gráfico é uma reta. Neste caso, associamos a taxa de variação à inclinação da reta.

O significado físico desse número (a inclinação) varia de acordo com as grandezas representadas no gráfico.

Retirando informações do Gráfico: calculando a velocidade pela inclinação da curva

Nesta seção estamos trabalhando o movimento com velocidade constante. No gráfico posição versus tempo desse movimento:

  1. a curva do gráfico é, na verdade, uma reta;
  2. isto significa que a inclinação, ou a taxa de variação é constante, ou seja, é a mesma em qualquer intervalo do gráfico.
  3. o significado físico da inclinação (nesse tipo de gráfico) é o de velocidade.

Vamos, então, determinar a velocidade do objeto usando o gráfico posição versus tempo. Veja a imagem abaixo. Nela o gráfico do movimento é a linha de cor verde.

O método consiste em determinar um intervalo, ou pedaço, do eixo horizontal e o intervalo correspondente do eixo vertical e depois dividir um pelo outro. Na imagem acima eles estão marcados pelo segmento de reta azul ao lado dos eixos. Para fazer os cálculos vamos agir como na aula passada.

Seguindo a linha tracejada você verá que o ponto t = 6 s no eixo t corresponde ao ponto S = 5 m, no eixo S. Do mesmo modo o ponto t = 0 s corresponde ao ponto S = 1 m.

Para calcular o tamanho do "pedaço" escolhido é necessário subtrair uma coordenada da outra. Assim, no eixo t subtraimos o instante final do inicial. Podemos chamar esse "pedaço" do eixo de delta t (Δt):

Temos então: Δt = 6 - 0   →   →   Δt = 6 s

Do mesmo modo, no eixo S, subtraímos a posição final da inicial. Podemos chamar o "pedaço" do eixo S de delta S (ΔS).

Temos então: ΔS = 5 - 1   →   →   ΔS = 4 m

Estamos prontos para calcular a taxa de variação, ou a inclinação:

Fazendo as contas obtemos a inclinação da reta. Como já foi definido nas aulas anteriores a taxa de variação (ΔS / Δt) tem a dimensão de velocidade média do objeto. No entanto, no movimento uniforme V = Vm, logo:

Repare que, como a inclinação desse gráfico é constante, posso escolher qualquer intervalo para o cálculo. Vamos obter, é claro, sempre o mesmo resultado.

Não importa o tipo de gráfico, você é livre para escolher o "pedaço" com que vai trabalhar. No entanto, uma vez escolhido um dos "pedaços" o outro deve ser aquele, no segundo eixo, que tem os pontos inicial e final correspondentes ao do primeiro eixo.

- Uma dica para você, meu amigo: escolha primeiro os números no eixo t. Repare que o tempo caminha numa só direção, do presente para o futuro. Assim, você saberá, sem possibilidade de dúvida, qual é o instante inicial e o instante final do intervalo.

Lembre-se:

"No Gráfico posição x tempo do movimento retilíneo uniforme a inclinação da reta fornece a velocidade do movimento."

A inclinação da reta, isto é, do gráfico ainda é um conceito útil mesmo quando queremos apenas comparar as velocidades de vários objetos em movimento retilíneo uniforme.

Para saber como clique no botão "saiba mais" ao lado.



Retirando informações do Gráfico: calculando o deslocamento pela área sob a curva

Considere outro tipo de gráfico do movimento retilíneo uniforme: o gráfico velocidade X tempo. Como a velocidade nesse movimento é constante o gráfico é uma reta na direção horizontal.

- Professor! Para que serve esse retângulo hachuriado marcado debaixo da reta verde do gráfico?

- Vamos usar do retângulo, isto é, a área entre a reta e o eixo horizontal para obter informações sobre o movimento do objeto. Para o movimento uniforme a figura formada sob o gráfico é sempre um retângulo. No exemplo da figura acima vamos trabalhar com o movimento entre os instante 2,0 e 8,0 segundos.

Este método de obter informação, no entanto, pode ser aplicado para qualquer tipo de movimento. Logo, a figura sob a curva pode ter qualquer forma. Neste curso, no entanto, as figuras sob a curva serão sempre polígonais. Clique no botão "saiba mais" abaixo para mais informações.

Voltando ao gráfico. Na imagem acima temos um retângulo de cor rosa entre a curva (a reta verde) e o eixo t. Ele está tracejado. Em termos geométricos podemos calcular a área desse retângulo.

O método consiste justamente nisto. Calcular a área desse retângulo utilizando as medidas marcadas na escala dos eixos. Para isto multiplicamos a medida da sua base pela medida da sua altura.

Vamos agora sair da geometria e entrar na Física. Neste gráfico, podemos ver que a altura do retângulo é a medida da velocidade do objeto e a base é um "pedaço" do eixo t, ou seja, um intervalo de tempo.

Assim, na geometria temos   →   →   altura . base.
Isto corresponde, na Física a   →   →  V . Δt

Da definição de velocidade para o movimento uniforme temos:

Ou seja, calcular a área geométrica do retângulo sob a curva (a reta verde) significa, na Física, calcular o "delta S" (ΔS). Assim, quando calculamos a área (no gráfico) estamos calculando o deslocamento do objeto no intervalo entre 2,0 e 8,0 segundos.

"No gráfico velocidade x tempo do movimento retilíneo uniforme a área sob o gráfico fornece a medida do deslocamento do objeto naquele intervalo de tempo."

- Antes de passar para o estudo do próximo clique no botão "saiba mais" acima para conhecer como este método se aplica a outro tipo de movimento.

Lembete importante: O método de calcular a "área sob a curva" de um gráfico que vimos acima é aplicavel para todos os tipos de gráficos. O significado da "área", no entanto, vai mudando de acordo com as legendas de cada gráfico. Se você continuar seus estudos, seja num curso técnico ou na universidade, irá estudar este tipo de aplicação numa disciplina intitulada Cálculo Diferencial e Integral.



Retirando informações de qualquer tipo de Gráfico

Mesmo para os movimentos onde a velocidade instantânea (V) varia livremente, os dois métodos vistos acima continuam sendo válidos. O cálculo, no entanto, se torna mais complicado. Neste curso não vamos aprender como realiza-lo.

Isto não impede que sejamos capazes de retirar informações úteis do gráfico. Não temos condições de medir as velocidades, mas podemos compara-las. Do mesmo modo, podemos ainda calcular a área sob a curva do gráfico de maneira aproximada.

Clique no botão "saiba mais" ao lado para mais informações.

Dando um jeitinho: fazendo comparações

Observe a imagem abaixo. Ela representa o gráfico posição versus tempo de um movimento com velocidade variável. Neste caso o gráfico não é mais uma reta. Isto, a princípio, nos impede de aplicar os métodos que estudamos, pois a inclinação muda a cada ponto.

Neste gráfico estão assinalados três pontos (A, B e C) e três retas secantes à curva do gráfico por pontos próximos a A, B e C. Pelo que estudamos, a inclinação da reta secante pode nos fornecer informações sobre o valor aproximado da velocidade do corpo que se move.

No entanto, sabemos que quanto maior a inclinação, maior a velocidade do corpo. Repare pela imagem a velocidade V do corpo no ponto C é maior que no ponto A, pois em C a inclinação é maior que em A

Repare ainda que no ponto B a tangente está na horizontal. Logo, a sua inclinação é nula. O corpo, no ponto B tem velocidade nula.

Dando um jeitinho: calculando áreas aproximadas

Do mesmo modo, observe a imagem ao lado. Ela representa o gráfico velocidade versus tempo de um movimento com velocidade variável (linha azul).

Isto, a princípio, nos impede de calcular a área sob a curva para obter informação sobre o deslocamento do objeto.

No entanto, nada nos impede de calcular valores aproximados. Por exemplo, vamos calcular o deslocamento do obejto entre os instantes 2 e 4 segundos.

Calculando a área aproximada para menos pelo retângulo ABCD:

Área = base . altura   →   →   Área = 2 . 2   →   →   Área = 4

Calculando a área aproximada para mais pelo retângulo ABEF:

Área = base . altura   →   →   Área = 2 . 3   →   →   Área = 6

Calculando a média aritmética das áreas:

Área média = (4 + 6)/2 .   →   →   Área = 5

Logo, no intervalo entre 2 e 4 segundos, o objeto se deslocou aproximadamente 5 metros .



O Gráfico do movimento retilíneo uniforme

Observe as equações abaixo.

Ambas são equações do primeiro grau. A da esquerda com variável independente x e a da direita com variável independente t. Se você se recorda das aulas de Álgebra saberá que o gráfico cartesiano desse tipo de equação é uma reta.

Repare que a equação da direita é a equação do Movimento Retilíneo Uniforme. Portanto, o gráfico posição X tempo do movimento retilíneo uniforme será uma reta muito semelhante a do gráfico mostrado na imagem abaixo.

Assim, fazendo um raciocínio inverso, se o gráfico posição x tempo do movimento de um corpo for uma reta, isto nos informará que:

Vamos fazer esses cálculos para o gráfico da imagem acima. Para isto, usaremos os pontos de coordenadas (7,6) e (4,4).

O resultado será: quando teve início o controle do movimento (to = 0) o corpo ocupava a posição 1,5 m e ele se movimenta com velocidade de 0,67 m/s no sentido positivo do referencial.



Nesse ponto fechamos o pequeno parênteses que abrimos para falar dos gráficos. Na próxima aula voltamos a estudar os movimentos retilíneos.

Desta vez, no entanto, vamos tratar dos movimentos com aceleração constante.

Se for útil para seu estudo, por favor, consulte o resumo da aula. Para isto clique no botão abaixo.




Resumo das principais ideias desta seção

  1. Nesta aula vamos empregar o método de leitura indireta para retirar informações dos gráficos;
  2. O primeiro deles consiste em calcular a taxa de variação das grandezas expostas nos eixos dos gráficos;
  3. Para isto dividimos o valor de uma grandeza pelo valor correspondente da outra grandeza;
  4. Para o movimento retilíneo uniforme associamos a taxa de variação à inclinação do gráfico, isto é, da reta;
  5. No movimento retilíneo uniforme:
    a inclinação é constante e nos dá a velocidade do movimento;
    como a velocidade é constante posso usar qualquer intervalo do gráfico para calcula-la;
    a inclinação é calculada pela razão ΔV/Δt, que tem a dimensão da velocidade do objeto;
  6. Podemos comparar a velocidade em dois momentos do movimento comparando a inclinação do gráfico nesses instantes:
    a inclinação maior corresponde a velocidade maior;
    a inclinação para o lado esquerdo do gráfico corresponde a uma velocidade negativa, isto é, o corpo se movimenta no sentido negativo do referencial;
    a inclinação nula, isto é, a reta está na horizontal, corresponde a velocidade nula;
  7. Outro método consiste em calcular a área sob a curva do gráfico no trecho em que estivermos interessados;
  8. A área a ser calculada está sempre entre a curva e o eixo horizontal do gráfico;
  9. No nosso curso o cálculo da área nos informa o deslocamento do objeto naquele intervalo;
  10. Para os movimentos em geral esses métodos ainda são aplicáveis. Nesse caso, não podemos calcular valores exatos, mas podemos fazer comparações e calcular valores aproximados.


Material Complementar


   
   
   
  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
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Regra de sinais para as operações matemáticas