Unidade 02: A vida em movimento

Seção 02: posição, deslocamento e gráficos. Movimento retilíneo uniforme



uando você observa o movimento de uma abelha, certamente notará que ela se move em todas as direções e que sua velocidade instantânea (V) também muda a cada instante. A abelha se movimenta no espaço.

O espaço é dito tridimensional por que tem três dimensões, isto é, três direções principais: comprimento (x), largura (y) e altura (z). Veja a imagem abaixo.

Cada posição que a abelha ocupa é determinada por três números, ou seja, por três coordenadas. Na imagem a posição P tem coordenadas (x, y, z).

De maneira semelhante, quando você observa uma pedra que cai ao ser abandonada a uma certa altura, certamente irá notar que ela percorre uma reta vertical até o chão. Para movimentos desse tipo nós iremos fazer uma simplificação que facilitará o nosso estudo: vamos esquecer duas das três dimensões do espaço e trabalhar com apenas uma delas.

Assim:

Assim, para uma pedra caindo na vertical, cada posição é determinada por um único número. Nestas condições, veja na imagem, a posição de P pode ser determinada apenas pela coordenada (z).

No ensino médio estudamos apenas os movimentos unidimensionais, ou seja os movimentos cujas trajetórias são retas. Os demais tipos serão estudados somente nos cursos técnicos e na universidade, nos cursos da área de ciências naturais.

Lembrete importante: Na aula anterior iniciamos nosso estudo falando do movimento em uma rodovia. Nesta aula, vamos dar um passo a frente e falar somente de trajetórias retilíneas. Imagine os objetos se movimentando numa estrada reta.



O movimento retilíneo uniforme (MRU)

Portanto, iremos trabalhar somente com o movimento cuja trajetória é uma reta, ou seja, com o movimento retilíneo. Nesse caso, cada posição S é determinada por apenas um número S(x).

Entre os vários tipos de movimentos retilíneos vamos começar estudando aqueles cujas velocidades instantâneas são constantes. Este tipo de movimento é chamado de "Movimento Retilíneo Uniforme" (MRU).

O MRU tem uma característica interessante. Nele, a velocidade média é igual a velocidade instantânea em qualquer ponto. Ele é também o mais simples e o mais importante tipo de movimento existente na natureza. A ele vamos dedicar esta aula.

Mais adiante no nosso curso, quando estudarmos as leis do movimento de Isaac Newton, veremos que o MRU é também chamado de Movimento Inercial, isto é, o movimento que os objetos têm quando sobre eles não está atuando uma força.

Expressão matemática para o MRU

Partindo da definição de velocidade média que aprendemos na aula anterior, temos:

Por definição, sabemos que a velocidade instantânea, no MRU, é constante. Logo, ela é igual a velocidade média desse movimento (Vm = V). Isto nos permite trocar a velocidade média pela velocidade instantânea na expressão matemática acima. Assim, teremos:

Trocando de lado o termo t - to ficamos com:

Esta equação nos fornece a posição atual S de um objeto em movimento em função do tempo t, isto é, da marcação do relógio que controla o movimento. Em outras palavras S = S(t).

Tenha em mente, no entanto, que esta equação somente funciona para o movimento retilíneo com velocidade (V) constante.

Se for acertado que o relógio que controla o movimento vai partir do zero (t0 = 0) a equação fica um pouco mais simples, pois t - to = t - 0 = t. Assim:

Esta é a equação usada para descrever o movimento retilíneo uniforme. É chamada de equação horária do movimento. Ela nos fornece a posição atual do corpo em movimento (S) a qualquer tempo (t).

- Como isto funciona, professor?

- Se eu fornecer o valor de um instante no tempo qualquer (t), substituir esse valor na equação e fazer as contas, o resultado me fornece a posição (S) que o corpo ocupa nequele instante.

A equação acima é uma equação genérica. Ela se aplica a todos os movimentos com velocidade constante. Para que ela sirva a um movimento em particular é necesário fornecer as condições iniciais desse movimento, isto é, informar o valor da velocidade instantânea (V) e a posição em que foi iniciado o movimento (S0).

S = S0 + v . t   →   →   equação genérica. Vale para todos os movimentos com velocidade constante.
S = 20 + 3 . t   →   →   equação particular. Vale somente para o movimento com velocidade de 3 m/s e que partiu da posição inicial 20 m.

Um exemplo de como usar a equação do MRU

- Vamos ver se eu entendi a coisa!

- Pois não!

- Seja um objeto se movimentando numa trajetória retilínea. Ele mantém sempre a mesma velocidade instantânea, em V = 80 m/s. Quando ele passa pela posição 40 m (So = 40 m) aciono o meu cronômetro (to = 0). Substituindo esses valores na equação geral:

S = S0 + V . t   →   →   S = 40 + 80 . t

- Muito bem! A primeira equação é uma equação genérica, serve para todos os movimentos com velocidade constante. A segunda é a equação particular para este movimento, pois nela estão anotadas as condições iniciais.

Mantidas essas condições iniciais esta equação é capaz de nos informar a posição que o objeto ocupará, ou ocupou, em qualquer tempo.

- Professor, e se essas condições inicias não forem mantidas? Por exemplo, se a velocidade mudar?

- Neste caso a equação simplesmente não funciona.

Retomando a equação apresentada acima veremos que ela está pronta para responder algumas perguntas:

- Qual a posição do objeto quando o relógio marcar 2 s ?

Para responder substituimos t por 2 s.

S = 40 + 80 . t   →   →   S = 40 + 80 . 2   →   →   S = 40 + 160   →   →   S = 200 m.

Logo, o objeto estará na posição 200 m quando o relógio marcar 2 s.

- Quando o objeto ocupar a posição 440 m qual a marcação do relógio ?

Para responder substituimos S por 440 temos.

S = 40 + 80 . t   →   →   440 = 40 + 80 . t   →   →   440 - 40 = 80 . t   →   →   t = 400 / 80   →   →   t = 5 s.

Logo, quando o objeto ocupar a posição 440 m o relógio que controla o movimento marcará 5 s.

Para mais exercícios use o botão ao lado.



Os Gráficos

Vamos abrir um pequeno parênteses no nosso estudo das equações do movimento para tratar de uma maneira de expor informações muito usada hoje em dia.

Logo em seguida voltaremos a tratar das equações do movimento.

Galileu e as três linguagens usadas para expor as informações

Quando se estuda um fenômeno físico é impossível lidar com a natureza nua e crua. A quantidade de informação é muito grande. Devemos então empregar um filtro e através dele selecionar as informações relevantes. E isto não é simples de se conseguir.

Tomemos como exemplo o estudo que Galileu realizou sobre a queda livre dos corpos. Ao longo do trabalho Galileu percebeu que as grandezas relevantes eram a velocidade e o tempo de duração do movimento.

Uma vez escolhidas as grandezas o físico busca estabelecer algum tipo de relação entre elas. Por exemplo, ao publicar seu trabalho sobre a queda livre dos corpos Galileu anunciou:

- Vejam! A distância percorrida pelo objeto é diretamente proporcional ao quadrado do tempo gasto no movimento de queda livre.

Neste ponto do trabalho é necessário comunicar a outros as conclusões alcançadas da forma mais clara e precisa possível. Também aqui Galileu introduziu uma inovação: ele usou a matemática.

Esse método de trabalho teve tanto sucesso que o uso da matemática como uma ferramenta e como linguagem da Física se tornou o padrão a ser seguido.

Desse modo, Galileu descreveu sua descoberta através de uma equação como a da imagem acima.

A matemática, no entanto, não se reduz a Álgebra e a Aritmética. Podemos imitar os gregos da antiguidade e usar a Geometria, isto é, podemos usar figuras para expressar as relações matemáticas. Em outras palavras, podemos usar um gráfico. Na imagem abaixo escrevemos a relação que Galileu descobriu na forma de um gráfico cartesiano.

- Repare, meu amigo, que estamos usando três linguagens diferentes para expressar o fato, observado por Galileu, da distância mudar com o quadrado do tempo.

- Entendi professor. Por exemplo: para falar a outra pessoa sobre minha viagem de férias eu posso conversar com ela, posso mostrar fotografias, posso também exibir um vídeo que fiz ou um texto que escrevi.

- Exatamente. Foi o que Galileu fez. Ele falou, escreveu livros e fez desenhos. Além disso, escreveu equações e tabelas com as medidas encontradas. Não tirou fotos e nem colocou um vídeo na internet, é verdade. No entanto, imagino que se essas tecnologias já existissem no seu tempo ele usaria de modo proveitoso esses meios de comunicação.

Na Física usamos várias linguagens para comunicar as informações. Podemos usar a Língua Portuguesa. Neste caso, é importante que a escrita seja clara, simples e lógica.

Em outro momento podemos usar a Matemática. Neste caso, é necessário não esquecer que a matemática também possui uma espécie de gramática. Você precisa aprender a escrever e a ler as equações, precisa saber retirar delas a informação que necessita.

Do mesmo modo podemos usar as imagens para comunicar ideias. Elas também possuem uma gramática. É necessário aprender a lê-las. Na Ciência as imagens são usadas para descrever, analisar e comunicar ideias.

Trabalhando com os gráficos cartesianos

O tipo de gráfico que vamos usar está entre os mais simples e tradicionais da matemática. Num mundo onde as telas de televisão e dos computadores estão presentes em todos os lugares é compreensível a importância que se dá a exibição de informações através das imagens.

No nosso curso vamos usar as imagens para exibir a relação entre duas grandezas físicas num dado fenômeno. Para isto vamos apelar para o método criado pelo físico, filósofo e matemático francês René Descartes também conhecido pelo nome latino Renatus Cartesius. O tipo de gráfico que ele criou é chamado, em sua homenagem Gráfico Cartesiano.

Necessitamos de um sistema de coordenadas. Na Física são utilizados diversos sistemas de coordenadas que mudam de acordo com as conveniências do assunto tratado. Aqui vamos utilizar o mais tradicional deles: o Sistema de Coordenadas Cartesiano. Veja na imagem abaixo.

Como você certamente se lembra das aulas de matemática, os eixos do sistema cartesiano devem ser perpendiculares entre si. Neles são marcadas as coordenadas dos pontos.

Para o nosso estudo vamos fazer algumas adaptações. Como vamos trabalhar relacionando apenas duas grandezas físicas usaremos dois eixos. Os eixos, agora, fornecem os valores dessas grandezas. Na imagem acima, no eixo vertical, estão marcadas as posições S ocupadas pelo objeto em movimento, medidas em quilômetros, e no eixo horizontal temos a marcação dos instantes de tempo "t" em que ele as ocupou. Elas estão medidas em horas.

Na imagem acima também está marcado o ponto A. Através das coordenadas do ponto A podemos verificar que no movimento que estamos analisando o objeto ocupa a posição 2,0 km quando o relógio que controla o movimento marca 4,0 horas.

Lembre-se: o gráfico serve para fornecer informação. Portanto, em primeiro lugar leia o título do gráfico e as legendas dos eixos. Elas informam as grandezas representadas e suas unidades.

Quando são marcadas todas as posições ocupadas pelo objeto e todas as marcações do relógio, uma curva é formada. Esta curva pode ser vista na imagem abaixo. A esta curva chamamos de gráfico desse movimento.

Retirando informações: leitura direta do gráfico

Apenas observando o gráfico já somos capazes de responder a dois tipos de perguntas:

  1. Quando o objeto passa pela posição 4,0 km qual a marcação do relógio?
  2. Qual a posição o objeto ocupa quando o relógio marca 3,3 horas?

Para responder basta usar uma régua e traçar retas paralelas aos eixos do gráfico (de cor marrom na imagem abaixo).

  1. Trace uma reta paralela ao eixo "t" até a curva a partir da posição 4,0 km. A partir da curva trace uma reta paralela ao eixo "S" e leia no eixo "t" o valor 8,5 horas.
  2. Trace uma reta paralela ao eixo "S" até a curva a partir da marcação 3,3 horas. A partir da curva trace uma reta paralela ao eixo "t" e leia no eixo "S" o valor 1,2 km.

Repare que esses valores não estão marcados na escala. Por isto você deve fazer uma estimativa. observe ainda que, nesses casos, os valores obtidos são necessariamente aproximados.

Neste exemplo estamos trabalhando com o gráfico posiçãoxtempo da Cinemática. Os gráficos, no entanto, são de aplicação geral.

Sempre que houver duas grandezas físicas que se relacionam de alguma maneira é possível traçar um gráfico para mostrar essa relação. O significado dos números será dado pelo título e pelas legendas do gráfico.



Nesta aula estudamos o movimento retilíneo com velocidade constante chamado Movimento Retilíneo Uniforme. Depois, abrimos um parênteses para estudar os Gráficos.

Na verdade, estamos interessados em aprender a tirar informações dos Gráficos, isto é, em aprender a ler as informações que eles exibem. Nesta aula estudamos o leitura direta dos gráficos. Na próxima aula estudaremos o segundo tipo de leitura: a leitura indireta.

Se desejar consulte o resumo desta aula clicando no botão abaixo.



Resumo das principais ideias desta seção

  1. O movimento de um corpo é feito no espaço. O espaço é tridimensional. Ele tem, portanto, temos três dimensões: comprimento, largura e altura;
  2. No espaço a posição S de um corpo é dada por três números, isto é, pelas coordenadas (x, y, z);
  3. Neste curso vamos trabalhar somente com movimentos que têm uma só direção, isto é, movimentos unidimensionais;
  4. Os movimentos em uma só direção têm as seguintes características:
    A posição S ocupada por um corpo é dada por um número. A coordenada de S é (x);
    A trajetória desses movimentos é uma reta;
  5. O movimento retilíneo mais simples é aquele com velovidade constante. É chamado Movimento retilíneo uniforme (MRU);
  6. O MRU tem as seguintes características:
    sua trajetória é uma reta e sua velocidade é constante;
    a posição do corpo em função do tempo S(t) é dada pela equação horária   →    S = S0 + v. t;
    onde S é a posição atual do corpo; t a marcação do relógio quando o corpo ocupa esta posição; S0 é posição inicial ocupada pelo corpo;
  7. A equação S = S0 + v. t é chamada equação geral. Ela descreve qualquer movimento com velocidade constante;
  8. A equação S = 30 + 10.t, por sua vez, é chamada equação particular. Ela descreve o movimento com velocidade de 10 m/s e que partiu da posição 30 m;
  9. Gráficos são figuras usadas para expor informações;
  10. Neste curso vamos usar os Gráficos Cartesianos nos quais estão relacionadas duas grandezas físcas;
  11. Para ler um gráfico devemos primeiro ler o seu título e suas legendas. Neles estão informadas as grandezas relacionadas e as unidades em que foram medidas;
  12. O primeiro método para tirar informações dos gráficos é a Leitura Direta na qual lemos a escala de um dos eixos e procuramos o valor correspondente na escala do outro eixo.


Material Complementar


   
   
   
  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
Dicas para resolver exercícios
         
   
      
   
   
   
   
   
   
   
Regra de sinais para as operações matemáticas
    
      
   
   
   
   
   
      
   
Outros tipos de gráficos
    
      
         
   
   
    
  
            
   
    
         
As linguagens da Física